kann mir jemand bei dieser aufgabe helfen?

Question

ch hab Freitag schulaufgabe und wollte zur übung gerade diese aufgabe rechnen:

Ein ungeübter schlittschuhläufer fährt mit vollem tempo auf die bande (gleichung: y= 0,5x-4)

Der eisfläche zu. Im letzten augenblick gelingt es ihm eine kurve einzuschlagen (kurvengleichung: y= 0,25x^2 –x) finden sie heraus, wie nahe er der bande kommt.

ich finde nicht mal einen ansatz !!

kann mir bitte jemand helfen??

Answer 1

Beste Antwort

Die Bahn des Schlittschuhläufers ist y = f(x) = 1/4 x² - x = 1/4 (x - 2)² - 1

Die Bande verläuft nach der Geradengleichung: y = g(x) = 1/2 x - 4

Am dichtesten kommt er der Bande, wenn der Anstieg der Parabel gleich dem Anstieg der Gerade ist.

http://www.bilder-hochladen.net/files/9aqw-81-jpg-...

Der Anstieg der Parabel ist in jedem Punkt P(x|y)

f '(x) = 1/2 x - 1

Der Anstieg der Gerade ist konstant: m = 1/2

Gleichsetzen:

1/2 = 1/2 x - 1

x = 3

In P(3 | - 0,75) hat die Parabel den gleichen Anstieg wie die Bande.

Die Normale an die Parabel hat den Anstieg m_n = - 2

Damit ist die Gleichung der Normale (nach der Punkt-Richtungsgleichung:

- 2 = (y + 0,75)/(x - 3)

y = n(x) = - 2x + 5,25

Die Normale schneidet die Gerade:

- 2x + 5,25 = 0,5x - 4

x = 3,7

S(3,7 | - 2,15)

Und nun kannst Du mit dem Pythagoras den Abstand a zwischen P und S ermitteln.

a = √[(- 2,15 + 0,75)² + 3,7 - 3)²] = .7√l5 ≈1,565

@Anmerkung:

Das sind ziemlich krumme Zahlen.

Ich befürchte fast, dass Euer Lehrer gemeint hat: An welcher Stelle ist die Differenz d der Funktionswerte von Parabel und Gerade minimal?

Das wäre ebenfalls in x = 3

f(x) = 0,25x² - x

g(x) = 0,5x - 4

---------------------------

d(x) = 0,25x² - 1,5x + 4

d'(x) = 0,5x - 1,5

x_e = 3

d(3) = 0,25 * 9 - 1,5*3 + 4 = 1,75

Das wäre dann aber nicht der Abstand zur Bande.

Answer 2

Einfach den Schnittpunkt berechnen, da er ja an diesem Punkt von der Gerade in die Parabel übergeht.

Jetzt müsstest du's hinkriegen.

Quelle(n): Nachdenken