Mathe Frage zu linearem Gleichungssytem!?

Folgende Aufgabe:

Petra fährt mit ihrem Fahrrad von Andernach in Richtung Koblenz mit der Geschwindigkeit 14 km/h. Zur gleichen Zeit startet in Koblenz ein Radfahrer in Richtung Andernach mit der Geschwindigkeit 16 km/h. Andernach und Koblenz sind 15 km voneinernader entfernt.

a) Wie lange dauert es, bis sich die beiden Radfahrer treffeb?

b) Wie weit ist der Treffpunkt von Andernach bzw. von Koblenz entfernt?

Also zu a) hab ich nen Ansatz 0,23x +0,26x=15 also ist x= 30

zu b) hab ich dann raus 0,23*30 und 0,26*30 = 8 und 7 km

bei beiden habe ich zwar die Lösungen, aber kein Gleichungssystem, also 2 Variablen. Ich hab mich echt mit der Aufgabe beschäftigt und lass mir die Hausaufgaben nicht machen, also helft mir bitte!

FAZIT: Ich brauche den Rechenweg in Form eines linearen Gleichungssystems mit 2 Variablen.

2 Antworten

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  • vor 1 Jahrzehnt
    Beste Antwort

    Der einfachste Ansatz nutzt die Tatsache, dass die beiden Strecken nach einer festen Zeit, hier können wir die Treffpunktzeit annehmen, proportional zu den Geschwindigkeiten sind. S1 (die Strecke, welche die Bäckerjungenfreundin aus Andernach zurücklegt) und S2 (die Strecke, die der Schängel aus Koblenz zurücklegt) sind zusammen 15km

    Also S1 + S2 = 15km;

    und das Verhältnis der Strecken ist:

    S1/S2 = 14/16

    Damit sind die beiden Gleichungen definiert

    Daraus folgt:

    S1 = 14/16S2= 7/8 S2

    Ersetzt man nun S1 in der ersten Gleichung durch 7/8 S2 so ergibt sich:

    7/8 S2 + S2 = 15

    oder

    15/8 s2 = 15

    Löst man die Gleichung nach S2 auf so ergibt sich

    S2 = 8 ; eingesetzt in die erste Gleichung ergibt dies für S1=7km

    und nun die Zeit: Dies ist nun ganz einfach, denn jetzt haben wir nur noch einen Dreisatz zu lösen: Für 14 km braucht die Bäckerjungenfreundin 1 Stunde, wie lange braucht sie für 8km

    Also 14/1 = 7/t oder T=7/14 Stunde also 30 Minunten. Das gleiche ergibt sich beim Dreisatz für den Koblenzer Schängel.

    Was steckt dahinter? Die Bundesbahn z.B. machte dies früher graphisch:

    Also man nehme ein Blatt Papier: Auf der X-Achse werden die km eingtragen und auf der y-Achse die Zeit: Jetzt zeichne man eine Gerade (Koblenz sei km 0 und Andernach sei km 15.) Diese Gerade startet im 0-Punkt und dem Punkt 16km (für x)und 1 Stunde (für y). Die zweite Gerade startet bei 15 (Andernach) und muss durch den Punkt x =1 und t=1Stunde gelegt werden (warum 1: Die Strecke wird in der Gegenrichtung gefahren: Also 15-14=1). Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der Treffpunkt. Die Gleichungen oben beschreiben im Prinzip den geometrischen Stahlensatz.

    Man kann natürlich auch die Geradengleichungen aufstellen (Ssteigung ist die Geschindigkeit):

    0 + 16 t = s

    15-14 t = s

    also 16 t= 15 -14 t

    nach t aufgelöst ergibt dies 30 t = 15 oder t= 0,5 Stunden

    Also: Viele Wege führen nach Rom.....selbst von Andernach :-)

  • Zac Z
    Lv 7
    vor 1 Jahrzehnt

    Ich habe eine Frage, ein Lob und einen Tadel für dich:

    Frage:

    Wieso brauchst du "den Rechenweg in Form eines linearen Gleichungssystems mit 2 Variablen"?

    Lob:

    Du hast die Aufgabe nämlich viel eleganter, schneller und einfacher gelöst, als es mit einem linearen Gleichungssystem der Fall gewesen wäre.

    Tadel:

    Deine formale Rechnung ist eine Katastrophe!

    - Du erläuterst deinen Ansatz nicht, auch nicht durch eine allgemeine Gleichung.

    - Du lässt einfach alle Einheiten weg.

    - Du rechnest einfach in andere Einheiten um.

    - Du rechnest mit gekürzten Dezimalbrüchen, ohne dies kenntlich zu machen.

    Der dritte Punkt (Umrechnen in andere Einheiten) ist an sich kein Problem, aber in Kombination mit Punkt 2 und 4 muss man raten, wie du auf deine Gleichung kommst.

    Das ist wohl auch der Grund, wieso bisher noch niemand geantwortet hat. Die meisten kapieren wohl nicht, was du da vor dich hin rechnest.

    So, genug geschimpft, aber bitte benutze in Zukunft Einheiten. Die sind nicht zum Spaß da!

    Wie gesagt halte ich deine Rechnung für besser als ein lineares Gleichungssystem. Bei zwei Objekten, die zum selben Zeitpunkt aufeinander zu fahren, kann man deren Relativgeschwindigkeit auf die Strecke beziehen und erhält so sehr einfach die Zeit bis zum Treffen:

    t = s / v

    t = s / (v1 + v2)

    Wenn man das über ein lineares Gleichungssystem rechnen will, musst du die Bewegungsgleichungen für jedes Objekt aufstellen.

    Dazu muss man sowohl einen räumlichen als auch einen zeitlichen Nullpunkt festlegen.

    Da beide Fahrradfahrer zum selben Zeitpunkt losfahren, würde ich diesen als Nullpunkt (t = 0) definieren.

    Als räumlicher Nullpunkt bietet sich hier Andernach oder Koblenz an. Ich entscheide mich für Andernach (s = 0).

    Dann ergeben sich die Gleichungen wiefolgt:

    s1 = 14 km/h * t

    s2 = 15 km - 16 km/h * t

    Die erste Gleichung beschreibt die Bewegung von Petra, die zweite die des anderen Radfahrers.

    Für letzteren muss man die Geschwindigkeit negativ ansetzen, da er sich ja in die Gegenrichtung bewegt. Außerdem ist sein Startpunkt in Koblenz, also gilt s(0) = 15 km.

    Zum Treffen setzt du die beiden Gleichungen gleich und berechnest t. Danach setzt du t in eine der beiden Gleichungen ein und erhälst s. Da wir Andernach als räumlichen Nullpunkt definiert haben, ist das errechnete s die Entfernung von Andernach.

    Gruß,

    Zac

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