Normalisierte Gleitkomma Darstellung?

Question

Ich soll eine unendliche Dualzahl als normalisierte Gleitkommazahl zur Basis 2 darstellen und diese nach 8 Nachkommastellen a) abschneiden b) runden.
Anschließend soll ich den relativen Feheler der Dualzahl ermitteln.

Bsp. 0,1 Basis 10= Dualzahl: (0,00011001...) Basis 2

Wie schreibt man eine Dualzahl als norm. Gleitkommazahl ????

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Ich gehe davon aus, dass du grundsätzlich die Gleitkommadarstellungen verstehen willst. Dazu empfehle ich dir erstmal diesen Link, wo auch Beispiele zu sehen sind:

http://de.wikipedia.org/wiki/IEEE754

Wie du ja schon geschrieben hast, ist 0,1 (Dezimal) gleich 0,0_0011_ im Dualsystem (Periode markiert mit "_").

Das kann man auch sehr schnell nachrechnen, du nimmst einfach den Nachkommateil der Dezimalzahl -- von 0,1 also 1 -- und multiplizierst diesen fortwährend mit 2, wobei die höheren Stellen jeweils abgeschnitten werden. Falls die erste Stelle der Zahl >= 5 ist, schreibt man eine 1; falls kleiner, eine 0. Irgendwann kommt dann eine Periode raus. Also im Fall von 0,1 so:

1 --> 0
2 --> 0
4 --> 0
8 --> 1
6 --> 1
2 --> (die 2 war schon mal da, ab dort ist also die Periode.)

Somit ergibt sich der Nachkommateil im Dualsystem von oben nach unten gelesen: 0_0011_

Und mit dem Vorkommateil haben wir jetzt: 0,0_0011_

So. Die Normalisierung bedeutet nun, dass vor dem Komma genau eine 1 stehen muss, und sonst nichts, d.h. du musst den entsprechenden Zweier-Exponenten herausfinden, sodass diese Bedingung erfüllt wird. Einfacher gesagt, du musst um eine Anzahl von Stellen entweder Linksschieben oder Rechtsschieben.

Im Fall von 0,0_0011_ sieht man sofort, dass man um 4 Stellen nach links schieben muss. Es ergibt sich:

0,0_0011_

= 1,1_0011_ * 2^(-4)

Der Exponent -4 ist also die gesuchte Zahl bei der Normalisierung. Du hast jetzt also eine normalisierte Gleitkommadarstellung mit Vorzeichen, Mantisse und Exponent.

Das Abschneiden nach 8 Nachkommastellen ist jetzt einfach, es ergibt sich:

1,10011001 * 2^(-4)

Um den relativen Fehler hierbei festzustellen, kann die Zahl wieder ins Dezimalsystem umgerechnet werden, also:

1,10011001 * 2^(-4)
= 110011001 * 2^(-12)
= 409 * 2^(-12) (dezimal)
= 0,099853515625

Die Abweichung von 0,1 beträgt also ca. -0,15%.

Beim Runden müsste man meines Wissens hier auf die nächste darstellbare Zahl aufrunden, weil die Nachkommastellen ab der 9. Stelle 1_0011_ sind, also größer als 0,5. Also hätten wir dann:

1,10011010 * 2^(-4)

Umgewandelt ins Dezimalsystem ergibt sich:

1,10011010 * 2^(-4)
= 110011010 * 2^(-12)

= 410 * 2^(-12) (dezimal)
= 0,10009765625

Die Abweichung von 0,1 beträgt also ca. +0,10%.

Das Runden war natürlich besser.